Fonctions

Une fonction f associe à chaque nombre x un seul nombre, noté f(x).

f : x ⟼ f(x)

• f(x) est l'image de x par f.
• x est un antécédent de f(x).

Exemple : f(3) = 7 : 7 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 7. On écrit aussi f : 3 ⟼ 7.

⚠ Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents… ou aucun.

Un tableau de valeurs donne des nombres x (ligne du haut) et leurs images f(x) (ligne du bas).

• Image de 1 : on lit sous 1, donc f(1) = 5.
• Antécédents de 5 : on cherche 5 en bas et on lit au-dessus : −2 et 1.

Au tableur, si x est en B1 et f(x) = 3x − 5, on saisit en B2 : =3*B1-5, puis on étire vers la droite.

⚠ L'image se lit dans la ligne du bas, l'antécédent dans la ligne du haut.

La courbe de f est formée des points de coordonnées (x ; f(x)).

• Image : on part de l'axe des abscisses, on rejoint la courbe, on lit l'ordonnée : f(−1) = 3.
• Antécédents : on part de l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale, on lit les abscisses : −1 a pour antécédents −3 et 2.

Le point A(2 ; −1) est sur la courbe, car f(2) = −1.

⚠ Abscisse : axe horizontal (x). Ordonnée : axe vertical (f(x)).

Quand on connaît la formule, par exemple f(x) = 3x − 5 :

• Image : on remplace x par le nombre.
  f(−2) = 3 × (−2) − 5 = −11
• Antécédent de 7 : on résout l'équation f(x) = 7.
  3x − 5 = 7, donc 3x = 12 et x = 4

⚠ Avec un carré, on garde les parenthèses : si g(x) = x² + 1, alors g(−3) = (−3)² + 1 = 10 (et non −8).

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite.

• a est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a.
• b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; b).
• Linéaire si b = 0 : f(x) = ax traduit la proportionnalité, la droite passe par l'origine.
• Constante si a = 0 : la droite est horizontale.

⚠ x² + 1 ou 3x ne sont pas affines : x n'y est pas seulement multiplié par un nombre.